1944年、ウェールズ生まれ。音楽家の父の手ほどきで6歳からピアノ、11歳からオーボエを習い始め、地元のオーケストラに参加。カーディフ大学およびロンドン王立音楽院を卒業、在学中から興味を持ったジャズにも傾倒し、サックスの演奏にも手を広げた。卒業後はジャズ・ロック・グループの「ニュークリアス」や「ソフト・マシーン」にプレーヤー＆コンポーザーとして参加、特にソフト・マシーンでは6枚のアルバム制作に深く関わっている。ソフト・マシーン解散後はテレビ番組やCMの作曲活動に専念、D＆AD（デザイン・広告）の賞である「ベスト・ミュージック」を2回獲得している。その後、ソフト・マシーンの同僚でもあったマイク・ラトリッジと結成したユニット、アディエマスのデビュー・アルバム『ソング・オブ・サンクチュアリ』（1995年）が世界的なヒット作となり、ジェンキンスの名も広く知られるようになった。2015年、ウェールズ出身の作曲家としては初となるナイトの爵位が与えられた。